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1 一阶常微分方程1

1.1 导数已解出的一阶方程1

1.1.1 变量可分离的方程1

1.1.2 齐次方程3

1.1.3 线性方程5

1.1.4 Bernoulli方程7

1.1.5 Ricatti方程8

1.1.6 全微分方程9

1.1.7 初值问题11

1.2.1 解出未知函数的方程和Clairaut方程15

1.2 导数未解出的一阶方程15

1.2.2 解出自变量的方程17

1.3 应用18

1.3.1 传染病的数学模型18

1.3.2 生物群体总量的增长20

习题一22

2 高阶常微分方程24

2.1 高阶线性微分方程解的结构24

2.2 n阶常系数线性微分方程25

2.2.1 n阶常系数线性齐次方程25

2.2.2 n阶常系数线性非齐次方程27

2.3 Euler方程31

2.4 高阶微分方程的降阶33

2.4.1 不显含未知函数的方程33

2.4.2 不显含自变量的方程34

2.4.3 齐次方程36

2.4.4 全微分方程37

2.5 应用38

2.5.1 悬臂梁的弯曲38

2.5.2 导弹跟踪问题39

习题二41

3.1 一阶微分方程组初值问题解的存在唯一性43

3 线性常微分方程组43

3.2 线性微分方程组解的结构44

3.3 常系数线性微分方程组49

3.3.1 常系数线性齐次方程组49

3.3.2 常系数线性非齐次方程组55

3.4 微分方程组和高阶微分方程之间的互化57

3.5 二阶变系数线性微分方程60

习题三63

4 常微分方程边值问题和特征值问题66

4.1 二阶边值问题解的存在唯一性66

4.2 二阶边值问题解的积分表示70

4.3 特征值问题73

4.4 应用77

4.4.1 简支梁的弯曲77

4.4.2 悬链线79

习题四81

5 偏微分方程83

5.1 波动方程83

5.1.1 弦振动方程的导出83

5.1.2 混合问题的分离变量法与齐次化原理85

5.1.3 D'Alembert公式及其物理意义94

5.1.4 高维波动方程和定解条件101

5.2 热传导方程102

5.2.1 热传导方程的导出和定解条件102

5.2.2 混合问题的分离变量法104

5.2.3 Fourier变换与初值问题的解107

5.2.4 极值原理及其应用111

5.3 调和方程114

5.3.1 调和方程及其基本解114

5.3.2 基本积分公式和平均值公式115

5.3.3 极值原理及其应用116

5.3.4 圆域Poisson公式118

5.4.1 二阶方程的化简121

5.4 二阶线性偏微分方程的分类121

5.4.2 二阶方程的分类125

习题五128

6 差分法134

6.1 常微分方程边值问题134

6.1.1 差分方程的建立134

6.1.2 极值原理和差分解的唯一性142

6.1.3 差分解的稳定性与收敛性143

6.2 椭圆型方程147

6.2.1 五点差分格式147

6.2.2 第三类边界条件的处理151

6.3.1 差分方程的建立153

6.2.3 差分解的误差估计153

6.3 抛物型方程153

6.3.2 差分格式的稳定性157

6.3.3 第三类边界条件的处理159

6.4 双曲型方程161

6.4.1 差分方程的建立161

6.4.2 初始条件的处理164

6.4.3 差分格式的稳定性165

习题六166

习题参考答案170

参考文献178